函数与极限

映射与函数

映射

映射的概念其实用的不多，介绍映射主要是为了引出函数。

定义域： $D_{f}$ 指的是 Domain
值域： $R_{f}$ 指的是 Range
映射是集合到集合之间的映射关系，不管是什么集合，都可以
我们从定义上可以认为 $D_{f} = X$
注意， $R_{f} \subset Y$ 即 $D_{f}$ 中的元素都得用上，但是 $Y$ 中的元素并一定全用上。如果都是用上了，即， $R_{f} = Y$ ，那就叫漫射。

单射定义： $如果 x_{1}! = x_{2}, 那么 f (x_{1})! = f (x_{2})$ ，这就叫单射。
即是单射，又是漫射，就叫一一映射。如果是一一映射，那么 $X ， Y$ 中的元素个数就是一样多的

逆映射

假设 $设 f : X \to Y 单射$ ， $y \in R_{f}$ ，都有唯一的 $x \in X$ ，满足 $f (x) = y$ ，换个符号 $g : R_{f} \to X$ ，又称为 $f^{- 1}$ ，其定义域为 $D_{f^{- 1}} = R_{f}$ ，其值域 $R_{f^{- 1}} = X$

为什么不是 $y \in Y$ 因为逆映射没有要求是满射，只要求单射， $Y$ 中有元素没用上，所以

复合映射

函数

映射是集合到集合之间的映射，集合是一个很大的概念，数集是集合，桌子椅子也是集合。
函数，是数集到数集之间的映射

$D \subset R$ 这里的 $R$ 指的是实数集，是一个集合，而 $f : D \to R$ 或者 $R_{f}$ 中的 $R$ 表示的 Range 的缩写，是函数的值域，我们要注意区分。
$f$ 表示的是一种映射关系， $f (x)$ 表示的是一个值

函数的几种属性\维度

有界性：
- 上界： $\exists k_{1}, f (x) <= k_{1}$ $k_{1}$ 是 $f (x)$ 的一个上界，因为 $K_{1} + 1$ 也是一个上界， $K_{1} + 2$ 也是，所以上界不唯一，可以有很多个。
- 下界： $\exists k_{2}, f (x) >= k_{2}$ $k_{2}$ 是 $f (x)$ 的一个下界，因为 $K_{2} - 1$ 也是一个下界， $K_{1} - 2$ 也是，所以下界不唯一，可以有很多个。
- 有界的定义： $\exists M$ ( $M$ 是正数 )，使得 $| f (x) | <= M$ ,则称 $f (x)$ 是有界的。 $M + 1$ 也是一个界。有界的充要条件是即有上界，又有下界
- $\exists$ 就是这个含义，存在一个就成立，实际上会有很多个。 $\forall$ 任意就不一样，任意的意思是每一个都得成立。
- 无界的定义: $\forall$ 正数 $M$ ， $\exists x_{1} \in X$ 使得 $| f (x) | > M$
单调性
- 单调增： $x_{1} > x_{2}, f (x_{1}) > f (x_{2})$
- 单调减： $x_{1} > x_{2}, f (x_{1}) < f (x_{2})$
奇偶性
- 首先， $D$ 要关于原点对称，如果这个都不满足，就不能谈奇偶性
- 偶函数： $f (- x) = f (x)$ 关于 $Y$ 轴对称
- 奇函数：： $f (- x) = - f (x)$ 关于 $X$ 轴对称
周期性
- $\exists l, f (x + l) = f (x)$ $l$ 为正数, $l$ 就是周期，而周期其实也可有很多个， $l$ 是周期 $2 l$ 肯定也是，因此我们聊周期，一般都是指最小周期。
- 并不是每个周期函数都有最小周期。 $Q$ : 有理数 $Q^{c}$ : 无理数
  
  任何正有理数都是这个函数的周期。但是不存在最小正有理数，所以不存在最小周期。

反函数

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只要 $f (x)$ 是单调的，那么其反函数 $f^{- 1} (x)$ 必定存在。而且 $f$ 跟 $f^{- 1}$ 关于 $y = x$ 对称

复合函数

$y = f (t), t = g (x)$ ，因此 $y = f (g (x))$ 且， $R_{g} \subset D_{f}$

初等函数

以前的知识都是基本初等函数经过有限次的运算和复合。

问题

假设有一个函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}}$ ，我们知道这是个偶函数，而且我们知道 $f (0) = 0, f (1) = 0$ ，而且 $f (x) < 1, x > 0$ 因此，我们大概知道 $f (x)$ 的图形，0 到 1 之间大于 0，1 到正无穷之间小于 1，但是我们并不知道 $f (x)$ 在 0 到 1 之间的最大值是多少，取最大值的时候，x 是多少。

f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{4}}

其实等我们学完了微积分中的导数之后，我们就会知道，对于一个连续的函数，其极值的导数是 0，因此我们只需要对其求导，找到导数为 0 时的 x 的值即可，
$f^{'} (x) = \frac{2 x (1 + x^{4}) - 4 (1 + x^{2}) x^{3}}{(1 + x^{4})^{2}}$ 求出来 $x = \sqrt{\sqrt{2} - 1}$ ，大概在 0.64 左右，看，就非常方便。
使用高纬度的工具解决初高中的知识，就是降维打击。

数列的极限

数列的定义

数列的极限

两个数 $a, b$ 的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 $| b - a |$ 来衡量， $| b - a |$ 越小， $a, b$ 越接近。
数列极限的定义：
设 ${x_{n}}$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正整数 $N$ ,使得当 $n > N$ 时，不等式

| x_{n} - a | < ε

都成立，那么就称常熟 $a$ 是数列 ${x_{n}}$ 的极限，或者成数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ ，记成：

lim_{x \to \infty} x_{n} = a

或

x_{n} \to a (n \to \infty)

用通俗的话来讲数列的极限的意思就是：取一个任意小的距离，都存在某一项，这一项之后的所有项，跟某一个常数的距离都在这里距离里面，这个常数就是数列的极限，其他的请看函数与极限#如何描述极限的概念

收敛数列的性质

如果数列 ${x_{n}}$ 收敛，那么它的极限唯一
如果数列 ${x_{n}}$ 收敛，那么数列 ${x_{n}}$ 一定有界
注意，反过来不一定成立，即有界不一定收敛，比如通项为 $(- 1)^{n + 1}$ 的数列，其有界，但是不收敛。
如果 $lim_{x \to \infty} x_{n} = a$ ，且 $a > 0$ (或 $a < 0$ )，那么存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时，都有 $x_{n} > 0$ 或（ $x_{n} < 0$ ）。
在数列 ${x_{n}}$ 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列 ${x_{n}}$ 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列 ${x_{n}}$ 的子数列（或子列）
如果数列 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ ，那么它的任意一个子数列也收敛，且极限也是 $a$ 。
反过来也不一定成立，比如，比如 $x_{n} = (- 1)^{n + 1}$ 的数列，其全部为 1 的子数列的极限是 1，但是其原数列没有极限，是发散的。
而且，所有为 1 的子数列极限为 1 ： $lim_{k \to \infty} x_{2 k + 1} = 1$ ，所有为 -1 的数列的极限为 -1： $lim_{k \to \infty} x_{2 k} = - 1$ ，由此可见这两个子数列的父数列一定是发散的，因为收敛的数列不可能有两个极限，我们得出推论：
由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散。

反三角函数

反三角函数，也是一种反函数，关于反函数的定义请看函数与极限#反函数。
反函数的定义中我们了解过只有单调函数才有反函数，那三角函数不是单调的，那怎么会有反函数呢？三角函数在单个周期内是单调的，我们就取一个单调周期，然后求这个周期的反函数。
例如 $y = s i n x$ 和其反函数 $y = a r c s i n x, x \in [- 1, 1], y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
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函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限

以 $x_{0}$ 为中心的任何开区间称为点 $x_{0}$ 的邻域，记作 $U (x_{0})$ ；在 $U (x_{0})$ 中去掉中心 $x_{0}$ 后，称为点 $x_{0}$ 的去心邻域,记作 $\overset{˚}{U} (x_{0})$
设 $x \in R, δ > 0$ ，开区间 $(x_{0} - δ, x_{0} + δ)$ 称为点 $x_{0}$ 的 $δ$ 邻域，记作 $U (x_{0}, δ)$ ，点 $x_{0}$ 的去心 $δ$ 邻域记作 $\overset{˚}{U} (x_{0}, δ)$ , $δ$ 称为邻域半径
函数极限的定义：
设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正数 $δ$ ,使得当 $x$ 满足不等式 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，对应的函数值 $f (x)$ 都满足不等式

| f (x) - A | < ε

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A

或

f (x) \to A (x \to x_{0}) .

做题的时候，当我们需要通过定义证明 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 的时候（ $A$ 是常数），需要根据 $A$ 和 $ε$ 把领域半径 $δ$ 表示出来，也就是证明其存在。比如我们需要证明 $f (x) = 2 x - 1$ 在 $x \to 1$ 的时候的极限为 1，也就是 $A = 1$ 只需要把 $ε$ 当常数，把 $δ$ 表示出来即可。最终我们可以求出来 $δ = \frac{ε}{2}$ 。

单侧极限

左极限

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A

右极限

lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A

极限存在的充分必要条件，就是左极限和右极限各自存在且相等。

自变量趋于无穷大时函数的极限

极限定义：
设函数 $f (x)$ 当 $| x |$ 大于某一正数时有定义，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正数 $X$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $| x | > X$ 时，对应的函数值 $f (x)$ 都满足不等式

| f (x) - A | < ε

那么常数 $A$ 就叫做函数 $f (x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，记作

lim_{x \to \infty} f (x) = A

或

f (x) \to A (x \to \infty)

如何描述极限的概念

上面的这些定义，都有一个模板：对于任意 XXX 都存在 XXX 满足 XXX，那 XXX 就是极限。
其实高等数学和初等数学一个很重要的区别就是开始研究极限这个概念，那如何用语言准确地描述极限呢？如果是你来描述极限，你怎么描述？数学家们很聪明，通过任意 + 存在的组合巧妙地描述了无限这个概念，简而言之就是是始终都可以更进一步，且永远达不到。
我们可以通过这种方式来定义生活中的一些极限概念，

拼多多的体现游戏中存在极限概念，不管你已经执行了多少步的操作，距离最终成功提现金额，始终都存在一个差值，实际金额跟提现金额 $A$ 的插值就是 $ε$ 。
追女孩的时候，不管你已经投入了多少精力，距离称为她男朋友，始终都差一点点，这差的一点点，就是 $ε$ 。
从极限的定义和证明极限的题中我们可以看出：数学，其实就是逻辑的游戏，我定义一个东西，然后以此为起点，发展出一切。所以高等数学，理解定义是非常重要的。
TODO 还有四个定理没有拿过来。