三角函数

6 个三角函数

正弦（sine）

余弦（cosine）

正切（tangent）

余切（cotangent）

正割（secant）

余割（cosecant）

弧度制

规定周角的 360 分之一为 1 度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧长与半径之比度量对应圆心角角度的方式，叫做弧度制
角度的公式 角度和弧度关系是：2π弧度=360°。从而 1°≈0.0174533 弧度，1 弧度≈57.29578°。
1、角度转换为弧度公式：弧度=角度×(π ÷180 )
2、弧度转换为角度公式： 角度=弧度×（180÷π）
sin30°=0.5
sin(π/6)=0.5
意义是一样的，只是使用了不同的符号而已。

证明起来也很简单：想想一下将一个等边三角形的一个角平分，角平分线是垂直于对面的边的，此时就可以证明 sin30°=0.5

为什么要使用弧度制

我们在使用弧度制的时候，三角函数的定义域和值域就都是自然数，方便我们分析。如果采用角度的话，定义域就是 xx°，而值域是自然数，这两个不是一个集合，必须将 xx° 转化成弧度，就很麻烦，所以我们在使用三角函数的时候，一般都采用弧度制。
结论，三角函数里采用 弧度制（而不是角度制）的好处主要体现在 数学上的简洁与自然性：

基本公式定理

公式汇总

和角公式

尝试证明了一下 $$
\begin{aligned}
sin(x+y) = sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x) \
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(y)sin(x)
\end

\sin(2\theta)=\sin(\theta+\theta) =\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta =2\sin\theta\cos\theta.

\cos(2\theta)=\cos(\theta+\theta) =\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta =\cos^2\theta-\sin^2\theta.

\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1.

\tan(2\theta)=\tan(\theta+\theta) =\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta} =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}

\sin(\theta)=\sin(\frac{\theta}{2}+\frac{\theta}{2}) =\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}+\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} =2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}.

\cos(\theta)=\cos(\frac{\theta}{2}+\frac{\theta}{2}) =\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2} =\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}.

\cos(\theta)=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}=2\cos^2\frac{\theta}{2}-1.

\tan(\theta)=\tan(\frac{\theta}{2}+\frac{\theta}{2}) =\frac{\tan\frac{\theta}{2}+\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan\frac{\theta}{2}\tan\frac{\theta}{2}} =\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}

e^{i2\theta}=(e^{i\theta})^2=(\cos\theta+i\sin\theta)^2 =\cos^2\theta-\sin^2\theta+i(2\sin\theta\cos\theta).